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Die Poisson-Approximation ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Möglichkeit, die Binomialverteilung und die verallgemeinerte Binomialverteilung für große Stichproben und kleine Wahrscheinlichkeiten durch die Poisson-Verteilung anzunähern. Durch den Grenzübergang nach unendlich erhält man dann die Konvergenz in Verteilung der beiden Binomialverteilungen gegen die Poisson-Verteilung.

• Formulierung

• Beweis-Skizze

• Güte der Approximation

• Beispiel

• Exakte Lösung

• Approximierte Lösung

• Siehe auch

• Weblinks

• Literatur

• Einzelnachweise

Ist ( S n ) {\displaystyle (S_{n})} eine Folge binomialverteilter Zufallsvariablen mit Parametern n ∈ ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } und p n {\displaystyle p_{n}} , sodass für die Erwartungswerte E ( S n ) = n ⋅ ⋅ p n → → λ λ > 0 {\displaystyle E(S_{n})=n\cdot p_{n}\to \lambda >0} für n → → ∞ ∞ {\displaystyle n\to \infty } gilt, dann folgt

P ( S n = k ) = B n , p n ( { k } ) → → λ λ k k ! e − − λ λ = P λ λ ( { k } ) {\displaystyle P(S_{n}=k)=B_{n,p_{n}}(\{k\})\to \,{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }=P_{\lambda }(\{k\})\quad }

für n → → ∞ ∞ {\displaystyle n\to \infty } .

Der Wert einer Poisson-verteilten Zufallsvariable an der Stelle k {\displaystyle k} ist der Grenzwert n → → ∞ ∞ {\displaystyle n\to \infty } einer Binomialverteilung mit p = λ λ n {\displaystyle p={\tfrac {\lambda }{n}}} an der Stelle k {\displaystyle k} :

lim n → → ∞ ∞ P ( S n = k ) = lim n → → ∞ ∞ ( n k ) p k ( 1 − − p ) n − − k = lim n → → ∞ ∞ n ! k ! ( n − − k ) ! ( λ λ n ) k ( 1 − − λ λ n ) n − − k = lim n → → ∞ ∞ ( λ λ k k ! ) ( n ( n − − 1 ) ( n − − 2 ) ⋯ ⋯ ( n − − k + 1 ) n k ) ( 1 − − λ λ n ) n ( 1 − − λ λ n ) − − k = λ λ k k ! ⋅ ⋅ lim n → → ∞ ∞ ( n n ⋅ ⋅ n − − 1 n ⋅ ⋅ n − − 2 n ⋯ ⋯ n − − k + 1 n ) ⏟ ⏟ → → 1 ( 1 − − λ λ n ) n ⏟ ⏟ → → e − − λ λ ( 1 − − λ λ n ) − − k ⏟ ⏟ → → 1 = λ λ k e − − λ λ k ! . {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }P(S_{n}=k)&=\lim _{n\to \infty }{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\left({\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}\right)\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}\\&={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot \lim _{n\to \infty }\underbrace {\left({\frac {n}{n}}\cdot {\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-2}{n}}\cdots {\frac {n-k+1}{n}}\right)} _{\to 1}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to e^{-\lambda }}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&={\frac {\lambda ^{k}\mathrm {e} ^{-\lambda }}{k!}}.\end{aligned}}}

Bei großen Stichproben und kleinem p {\displaystyle p} lässt sich folglich die Binomialverteilung gut durch die Poisson-Verteilung approximieren.

Die Darstellung als Grenzwert der Binomialverteilung erlaubt eine alternative Berechnung von Erwartungswert und Varianz der Poisson-Verteilung. Seien X 1 , … … , X n n {\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}\,n} unabhängige bernoulliverteilte Zufallsvariablen mit p = λ λ / n {\displaystyle \,p=\lambda /n} und sei S n := X 1 + ⋯ ⋯ + X n {\displaystyle S_{n}:=X_{1}+\dotsb +X_{n}} . Für n → → ∞ ∞ {\displaystyle n\to \infty } gilt S n ∼ ∼ P λ λ {\displaystyle S_{n}\sim P_{\lambda }} und

E ⁡ ⁡ ( S n ) = E ⁡ ⁡ ( X 1 ) + ⋯ ⋯ + E ⁡ ⁡ ( X n ) = λ λ n + ⋯ ⋯ + λ λ n ⏟ ⏟ n m a l = λ λ → → λ λ Var ⁡ ⁡ ( S n ) = Var ⁡ ⁡ ( X 1 ) + ⋯ ⋯ + Var ⁡ ⁡ ( X n ) = λ λ n ( 1 − − λ λ n ) + ⋯ ⋯ + λ λ n ( 1 − − λ λ n ) ⏟ ⏟ n m a l = λ λ ( 1 − − λ λ n ) → → λ λ . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (S_{n})&=\operatorname {E} (X_{1})+\dotsb +\operatorname {E} (X_{n})=\underbrace {{\frac {\lambda }{n}}+\dotsb +{\frac {\lambda }{n}}} _{n\,\mathrm {mal} }=\lambda \to \lambda \\\operatorname {Var} (S_{n})&=\operatorname {Var} (X_{1})+\dotsb +\operatorname {Var} (X_{n})\\&=\underbrace {{\frac {\lambda }{n}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)+\dotsb +{\frac {\lambda }{n}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)} _{n\,\mathrm {mal} }=\lambda \left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)\to \lambda .\end{aligned}}}

Für die Fehlerabschätzung gilt

∑ ∑ k ≥ ≥ 0 | B n , p ( { k } ) − − P n ⋅ ⋅ p ( { k } ) | ≤ ≤ 2 n p 2 {\displaystyle \sum _{k\geq 0}\left|B_{n,p}(\{k\})-P_{n\cdot p}(\{k\})\right|\leq 2np^{2}} .

Die Approximation einer Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen (bzw. einer binomialverteilten Zufallsvariable) ist also insbesondere für kleine p {\displaystyle p} gut. Als Faustregel gilt, dass die Approximation gut ist, wenn n ≥ ≥ 50 {\displaystyle n\geq 50} und p ≤ ≤ 0 , 05 {\displaystyle p\leq 0{,}05} gilt. Ist p ≈ ≈ 0 , 5 {\displaystyle p\approx 0{,}5} , so ist die Normal-Approximation besser geeignet.

Allgemeiner lässt sich Folgendes zeigen: Seien X 1 , … … , X n {\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}} stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit P ( X i = 1 ) = p i = 1 − − P ( X i = 0 ) {\displaystyle P(X_{i}=1)=p_{i}=1-P(X_{i}=0)} (jede Zufallsvariable ist also Bernoulli-verteilt), dann ist

S := ∑ ∑ i = 1 n X i {\displaystyle S:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}

verallgemeinert binomialverteilt. Definiere

λ λ := ∑ ∑ i = 1 n p i {\displaystyle \lambda :=\sum _{i=1}^{n}p_{i}} ,

dann gilt

∑ ∑ k = 0 ∞ ∞ | P ( S = k ) − − exp ⁡ ⁡ ( − − λ λ ) λ λ k k ! | ≤ ≤ 2 ∑ ∑ i = 1 n p i 2 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left|P(S=k)-\exp(-\lambda ){\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right|\leq 2\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}} .

Im Englischen ist dieses Resultat als „Ungleichung von Le Cam“ (Le Cam’s Inequality) bekannt.cite-ref-1[1]

Gilt p i = p j {\displaystyle p_{i}=p_{j}} für alle 1 ≤ ≤ i , j ≤ ≤ n {\displaystyle 1\leq i,j\leq n} , so ist S {\displaystyle S} binomialverteilt und das obige Ergebnis folgt sofort.

Ein Individuum einer Spezies zeugt n = 1000 {\displaystyle n=1000} Nachkommen, die alle stochastisch unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von p i = 0,001 {\displaystyle p_{i}=0{,}001} das geschlechtsreife Alter erreichen. Interessiert ist man nun an der Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder mehr Nachkommen das geschlechtsreife Alter erreichen.

Sei X i = 1 {\displaystyle X_{i}=1} die Zufallsvariable „Der i {\displaystyle i} -te Nachkomme erreicht das geschlechtsreife Alter“. Es gilt P ( X i = 1 ) = p i {\displaystyle P(X_{i}=1)=p_{i}} und P ( X i = 0 ) = 1 − − p i {\displaystyle P(X_{i}=0)=1-p_{i}} für alle i {\displaystyle i} . Dann ist die Anzahl der überlebenden Nachkommen S := ∑ ∑ i = 1 n X i {\displaystyle S:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}} aufgrund der stochastischen Unabhängigkeit B n , p {\displaystyle B_{n,p}} -verteilt. Zur Modellierung definiert man den Wahrscheinlichkeitsraum ( Ω Ω , Σ Σ , P ) {\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)} mit der Ergebnismenge Ω Ω := { 0 , … … , n } {\displaystyle \Omega :=\{0,\dotsc ,n\}} , der Anzahl der überlebenden geschlechtsreifen Nachkommen. Die σ-Algebra ist dann kanonisch die Potenzmenge der Ergebnismenge: Σ Σ := P ( Ω Ω ) {\displaystyle \Sigma :={\mathcal {P}}(\Omega )} und als Wahrscheinlichkeitsverteilung die Binomialverteilung: P ( { k } ) := B n , p ( { k } ) {\displaystyle P(\{k\}):=B_{n,p}(\{k\})} . Gesucht ist P ( S ≥ ≥ 2 ) = 1 − − P ( S = 1 ) − − P ( S = 0 ) = 1 − − B 1000 ; 0,001 ( { 0 } ) − − B 1000 ; 0,001 ( { 1 } ) ≈ ≈ 0,264 2 {\displaystyle P(S\geq 2)=1-P(S=1)-P(S=0)=1-B_{1000;\,0{,}001}(\{0\})-B_{1000;\,0{,}001}(\{1\})\approx 0{,}2642} . Es erreichen also mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 26 % mindestens zwei Individuen das geschlechtsreife Alter.

Da n {\displaystyle n} ausreichend groß und p {\displaystyle p} ausreichend klein ist, lässt sich die Binomialverteilung genügend genau mittels der Poisson-Verteilung annähern. Diesmal ist der Wahrscheinlichkeitsraum ( Ω Ω , Σ Σ , P ) {\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)} definiert mittels des Ergebnisraums Ω Ω := N {\displaystyle \Omega :=\mathbb {N} } , der σ σ {\displaystyle \sigma } -Algebra Σ Σ := P ( N ) {\displaystyle \Sigma :={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} und der Poisson-Verteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung P ( { k } ) := P λ λ ( { k } ) = λ λ k k ! e − − λ λ {\displaystyle P(\{k\}):=P_{\lambda }(\{k\})={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }} mit dem Parameter λ λ = n ⋅ ⋅ p = 1 {\displaystyle \lambda =n\cdot p=1} . Man beachte hier, dass die beiden modellierten Wahrscheinlichkeitsräume unterschiedlich sind, da die Poisson-Verteilung auf einem endlichen Ergebnisraum keine Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Individuen das geschlechtsreife Alter erreichen, ist also P ( S ≥ ≥ 2 ) ≈ ≈ 1 − − P λ λ ( { 1 } ) − − P λ λ ( { 0 } ) = 1 − − λ λ 1 1 ! e − − 1 − − λ λ 0 0 ! e − − 1 ≈ ≈ 0,264 2 {\displaystyle P(S\geq 2)\approx 1-P_{\lambda }(\{1\})-P_{\lambda }(\{0\})=1-{\frac {\lambda ^{1}}{1!}}e^{-1}-{\frac {\lambda ^{0}}{0!}}e^{-1}\approx 0{,}2642} .

Bis auf vier Nachkommastellen stimmt also die exakte Lösung mit der Poisson-Approximation überein.

• Zwei-Drittel-Gesetz (auch Gesetz der kleinen Zahlen genannt)

• A.V. Prokhorov: Poisson theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

• Eric W. Weisstein: Poisson theorem. In: MathWorld (englisch).

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.

• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5, doi:10.1007/978-3-663-09885-0.

• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.

cite-note-11. ↑ Eric W. Weisstein: Le Cam's Inequality. In: Mathworld. Abgerufen am 18. November 2023.